О взаимоисчерпывающей полноте теоретического и практического в математике.

                                                                     Теория и практика математического предмета. 

         Довольно давно я много решал задач по математике и физике, дело было в школе, когда я готовился в институт, в МГУ, и затем еще некоторое время... и вот я заметил и сейчас это подчеркну, одну особенность такого изучения. Особенность, очевидную математикам. Именно, - если после прослышанной и даже хорошо понятой теории вы решаете только одну, ну две задачи, причем легкие, самые легкие -  (лищь бы что-то решить) не охватывающие сложностей-особенностей данной темы, - то теоретический материал оказывается  недопонятым, - непроясненным, мутным, неперваренным. А в  точных науках все однозначней, - или материал понимается, весь и определенным образом или непонимается - и тоже весь не понимается. И вот так плохая практика проваливает теорию. Почему - просто потому что если теория считает себя главной, а практика лишь подтверждает, служит ее закреплению, мертвеет и сама теория и "ее практика" - практика становится более теоретична: возникает понятие "типовой задачи"(об этом подробнее ниже), и наоборот теория становится как видим, практична: подтвердили ее букву и достаточно для нее - ей, теории, уже нет мотива смотреть не внутрь себя, ни вовне (данной темы) , и вроде бы некий "цикл обучения" завершен. (Именно так формируются в учебниках наших обучающие циклы: от теории - к закрепляющей ее практике.)      

        Но это как раз более менее всем известно, я-то хочу обратить внимание на то, как в процессе решения обнаруживается сама эта мера - сколько и какие задачи должно решить школьнику, чтобы теория не просто была им усвоена, а чтобы он ощутил в итоге «шаг смыслообразования», переопределенную полноту освоения материала – «сытость знанием знания» если угодно – га фоне которой все остальные задачи так или иначе уже сводятся к предыдущим, типологичны с ними, и потому очередные задачи уже ничего существенного не добавляют. Так вот: данная полнота достигается чисто практически, и ощутима она в том что последующие задачи того же «класса сложности» решать становится все легче и легче, так что наконец возникает потребность увеличить «класс сложности», но и там аналогично, - задачи более трудные решаются сначала в общем плане, затем по мере их решения исчерпывается и их сложность, - так задачами (как ложками тарелка, извините) исчерпывается вся сложность темы: до  бесконечности тему вычерпывать было бы бессмысленно, поскольку смысла новая задача уже не прибавляет – новизна ее уже есть только чистая формальность, чистое сведение к старому.  Мера сколько решать и какие решать задачи – полнота практического познавания – нащупывается, обнаруживает себя сама по мере решения все большего количества задач но при этом по степени их усложнения: остановка - во исчерпание темы -  такому процессу неизбежна! Необходимо только движение вперед, к усложнению задач. И остановка, достижение указанной полноты , - возникает сама собой, она приблизится к нам довольно быстро, если не внезапно, если мы наберем хороший ход, и тема стремительно начнет исчерпываться. Итак: практическая мера –решения задач, - сколько и каких, - обнаруживает себя сама, в последовательном исчерпании ими темы. (Только задачами «жива» тема – если учебник не дает задачи по определенным аспектам теоретического материала, значит он обрекает весь этот теоретический материал.)      

      Такое - в полноте - усвоение теоретического материала я называю собственно - познанием его. Только через практические решения, только через разнообразность задач и к исчерпанию всех вариантов типологических задач (или если не к исчерпанию, то к обозначению путей развития данных вариантов)- достигается то с чего все это начиналось и заевалось - теория, идеи, концепция - усвоены и усвоены именно так как им, теориям, надо.

      И в связи с отмеченной важностью практики и задач, вспоминается тот опыт школьного, который у всех у нас имеется: решается 1 задача - трудно, но теория помогает, решается другая - помогает уже первая задача, вместе с теорией, решается третья задача - помогает уже кроме теории нечто общее первым двум решенным задачам и так далее: по мере решения задач, выделяется некое общее им здесь типологическое правило, подход, нащупывание условий и данных и расстановка их в связи с полученным теоретическим материалом, осуществляется выбор правила решения, тип задач. Именно это и понимается практикой -  тип задач. Причем, поскольку материал теории последний продолжает материал теории предыдущего (урока, лекции),тип задачи должен содержать как полученный до этого последнего урока, типологический материал, так и материал последнего урока, они показываются в задаче как наука уже познанная, существующая для ученика, и наука к ней пристраиваемая пока экспериментально-практически в виде проверки теретических идей, высказанных на последнем уроке. Итак: сумма задач должна развивать-содержать в себе предыдущее и акцентировать только что высказанное. Если бы что казжется на 1 взгляд, задачи занимались бы лишь последним - акцентированием на последнем материале - пропадало бы важнейшее - уплотнение всей до того полученной базы знаний, интегрирование в изученное уже - изучаемого: не просто важно нечто увидеть - важно понимать что завтра ты увидишь нечто еше, и что вчера ты видел нечто иное, важно поэтому постоянное сложение, в фоне, впечатлений зрителя, на которых и возникает резкий образ сиюминутного видимого впечатления.

     И вот к чему мы пришли? Для нащупывания полноты практической базы, какие именно задачи и сколько их прикреплять к теории, мы и составляем сам теоретический материал! То есть - не практика позволяет понимать теорию, а все наоборот - теория составляется таким образом, чтобы  указанная полнота могла быть четко выстроена. Где-то дается формула, а где-то тема разбивается надвое с переносом ее 2 части на потом, где-то дается сложнейшее определение, требующее привлечение вне-матического Разума, дополнительной интеллектуальной работы, а где-то внимание уделяется только логической последовательности действий, когда важно усвоить их конкретный порядок. И поэтому то с чего я начинал - важность нескольких задач и охватывающих всю тему для ее усвоения - вещь прямо обратимая: тему возможно так составить, что число задач и их качество может быть очень разным, хотя безусловно они должны быть. Практика "для усвоения" теории и теория "для развернутой полноты" практики. 

     Примеры школ, где решают 1 задачу, две, - отличный признак того что этого там не понимают: науку и ее образование в ученике, не понимают. Невозможно решая одну и простейшую задачу, даже слегка почувствовать теорию, пускай это задача будет задавать правило решения, типологические приемы, - все будет мимо, ибо практика не есть теория по определению - сам учащийся из нескольких отличных друг от друга задач выбирает, выделяет типологическое правило решения, как правило, непроизвольно (см. выше мы писали об этом - присутствие в задаче последнего материала и предыдущего уже узученного материала в смешанном виде). Одновременно ученик как и на прошедшем и позапрошлом уроках, ощущает себя в среде данной науки, но последний изученный материал им исследуется, выделяется с самых разных сторон. (Это и есть практика на самом-то деле - сам процесс выделения теории из нетеории, из общего неструктурированного материала-материи.)

    Если учитель задает лишь 1 задачу - она и понимается соответственно учениками как продолжение теории: а вот вам правило по которым следует решать все типологические задачи этой теме. И - "дети: едем дальше!!" Но куда? Практики вовсе не было - того, ради чего создана собственно вся теория, вовсе не было, и уже едем дальше?  Только много, или несколько слаженных акцентно-тематически и научно-органически задач - дают почувствовать что такое теоретический материал, на зубок - ощутить последние зернышки мудрости. И даже где-то его исправить, ибо появятся некие индивидуальные акценты его усвоения, идущие не обязательно глубже, но важные сосбтвенной индивидуальностью для учащегося. 

     Без постоянного погружения в практическое существование, как это не странно, о том что такое теория, приходится лишь догадываться. Она не в чеканных формулировках, кои требуется заучивать, вовсе не в них, она вся - в связях которые намечают определенные тематически ориентированные задачи между изученным и - только что изучаемым. Она - в фиксации эксперимента, в выводах. Не практика из нее, а наоборот, теория из практики, имеет место в том же самом виде. 

     Конечно, все что сказано выше, в философии выглядит так: теория тождественна практике, это раздельное тожество. Различны, но тождественны - начинаем думать что такое практика сама по себе, логически продумываем ее бытие - и оказываемся в месте и в положении теории и наоборот, теория развивается, существует - с целью и оказывается на всем своем протяжении по достижению данной цели по существу практикой. Поэтому математические задачи, о которых шла выше речь - как раз философская диалектика ориентирует точнее некуда, прямо по центру смысла яснее ясного: теоретические, тематические выписки, т.н. «Темы» лекций и уроков - все это за и по ту сторону - задач, их решения. (Но и они сами являют собой примеры задач подобного же рода.  Если мы вслушаемся в речь учителя, и если мы присмотримся к тому как работает наш ум на его лекции, если понаблюдаем за нашим вниманием при схватывании голой математической формулы  – мы заметим все те моменты конкретно-математического размышления над задачей, которые характерны и для отдельной тематически-поставленной задачи в учебнике; само восприятие теории – есть уже задача, уже практика – поиск, проба, ошибка, решение – все это в рамках задач одного и того же научного рода.  Иными словами всюду наблюдаема только практика, то рвущаяся к теории -  то выступающая из нее снова к нам, во вне себя.)  Решение - вот существование математики, вот ее бытие: пока задачи решаются, непрерывно возникая и непрерывно приводя к ответу, многие их которых необходимо промежуточны, математика существует.

                январь 2011